Matematyka#
1. Całka Riemanna – krojenie dziedziny#
Riemann dzieli oś x na przedziały, w każdym bierze wartość funkcji i sumuje prostokąty f(xᵢ)·Δx. Gdy przedziały maleją, suma dąży do pola pod wykresem.
$$ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_i f(x_i)\,\Delta x $$Riemann kroi oś x na pionowe paski.
2. Całka Lebesgue’a – krojenie wartości (wzór warstwowy)#
Lebesgue dzieli oś y na poziomy t. Dla każdego poziomu pyta: jak duży jest zbiór punktów, gdzie f(x) > t? Pole to suma (całka) tych rozmiarów po wszystkich poziomach. To tzw. „layer cake formula”.
$$ \int f\,d\mu = \int_0^{\infty} \mu(\{x : f(x) > t\})\,dt $$Lebesgue kroi oś y i mierzy, gdzie funkcja przekracza każdy poziom.
3. Analogia z monetami#
Lebesgue sam porównywał swoją całkę do liczenia pieniędzy. Riemann wyjmuje monety po kolei i dodaje ich wartości. Lebesgue najpierw sortuje monety według nominałów, liczy każdą kupkę i mnoży nominał przez liczbę monet. Wynik ten sam, ale kolejność grupowania inna.
4. Miara, σ-algebra i zbiory mierzalne#
Miara μ przypisuje zbiorom „rozmiar” (długość, pole, objętość, prawdopodobieństwo). Nie da się tego zrobić sensownie dla wszystkich zbiorów, więc wybiera się rodzinę zbiorów mierzalnych – σ-algebrę. Jest ona zamknięta na dopełnienie i przeliczalne sumy, a miara jest przeliczalnie addytywna: miara sumy rozłącznych kawałków to suma ich miar.
$$ \mu\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\Big) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) \quad \text{dla rozłącznych } A_i $$Miara mówi, jak duży jest zbiór; σ-algebra mówi, które zbiory wolno mierzyć.
5. Miara zero i „prawie wszędzie”#
Zbiór miary zero jest „pomijalny” dla całki: zmiana funkcji na takim zbiorze nie zmienia całki. Punkty, skończone i przeliczalne zbiory (np. wszystkie liczby wymierne) mają miarę Lebesgue’a zero. Mówimy, że własność zachodzi „prawie wszędzie” (p.w.), jeśli zawodzi tylko na zbiorze miary zero.
$$ \mu(\{x : f(x) \neq g(x)\}) = 0 \;\Rightarrow\; \int f\,d\mu = \int g\,d\mu $$Na zbiorze miary zero możesz zmienić funkcję dowolnie – całka tego nie zauważy.
6. Funkcja Dirichleta – gdzie Riemann się wykłada#
D(x) = 1 dla x wymiernych, 0 dla niewymiernych, na [0, 1]. W każdym przedziale są i wymierne, i niewymierne, więc górne sumy Riemanna zawsze wynoszą 1, a dolne 0 – całka Riemanna nie istnieje. Dla Lebesgue’a sprawa jest prosta: wymierne mają miarę zero, więc ∫D = 1·0 + 0·1 = 0.
$$ \int_{[0,1]} D\,d\mu = 1\cdot\mu(\mathbb{Q}\cap[0,1]) + 0\cdot\mu([0,1]\setminus\mathbb{Q}) = 0 $$Riemann pyta, co jest w każdym przedziale; Lebesgue pyta, ile miejsca zajmuje każda wartość.
7. Twierdzenia graniczne – kiedy wolno zamienić lim i ∫#
Najważniejszy praktyczny zysk z Lebesgue’a. Twierdzenie o zbieżności monotonicznej: jeśli fₙ rosną do f, to ∫fₙ → ∫f. Twierdzenie o zbieżności zmajoryzowanej: jeśli fₙ → f p.w. i wszystkie |fₙ| ≤ g dla całkowalnej g, to ∫fₙ → ∫f. Bez takiej majoranty zamiana może dać zły wynik.
$$ |f_n| \le g,\; \int g < \infty,\; f_n \to f \text{ p.w.} \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty} \int f_n = \int \lim_{n\to\infty} f_n $$To dzięki tym twierdzeniom wiadomo, że dyskretyzacja i iteracje zbiegają do właściwej całki.
8. Przestrzenie Lᵖ i L² jako przestrzeń Hilberta#
Lᵖ to funkcje, dla których ∫|f|ᵖ < ∞, z utożsamieniem funkcji równych p.w. Kluczowa cecha: są zupełne – każdy ciąg Cauchy’ego ma granicę w tej samej przestrzeni (twierdzenie Riesza–Fischera). Funkcje całkowalne w sensie Riemanna tej własności nie mają: granica „dobrych” funkcji może wypaść poza nie. L² ma iloczyn skalarny, więc działa w niej geometria: długość, kąt, rzut ortogonalny, baza.
$$ \langle f, g\rangle = \int f\,\overline{g}\,d\mu, \qquad \|f\|_2 = \Big(\int |f|^2\,d\mu\Big)^{1/2} $$Zupełność + iloczyn skalarny = można robić analizę Fouriera, rzuty i optymalizację na funkcjach.
9. Fourier w L²: Parseval i Plancherel#
Funkcje sin/cos (albo e^{ikx}) tworzą bazę ortonormalną L². Każda funkcja z L² rozkłada się na współczynniki Fouriera, a szereg zbiega w normie L² (nie zawsze punktowo!). Parseval: energia funkcji = suma kwadratów współczynników (przy bazie ortonormalnej; przy e^{ikx} na [0, 2π] dochodzi czynnik 2π). Plancherel: transformata Fouriera zachowuje normę L², więc jest „obrotem” w przestrzeni funkcji.
$$ \int |f(x)|^2\,dx = \sum_k |c_k|^2 \qquad \|\mathcal{F}f\|_2 = \|f\|_2 $$Fourier to obrót w L²: zmienia współrzędne, nie zmienia energii.
10. Prawdopodobieństwo jako miara#
Aksjomatyka Kołmogorowa: przestrzeń probabilistyczna to po prostu przestrzeń z miarą P, gdzie P(Ω) = 1. Zdarzenia to zbiory mierzalne, zmienna losowa to funkcja mierzalna, a wartość oczekiwana to całka Lebesgue’a. Ten sam aparat obsługuje rozkłady ciągłe, dyskretne i mieszane.
$$ \mathbb{E}[X] = \int_{\Omega} X\,dP $$Rachunek prawdopodobieństwa to teoria miary z normą 1.
11. Numeryka: Riemann na GPU, Lebesgue w dowodzie#
Dla funkcji kawałkami ciągłych całki Riemanna i Lebesgue’a dają ten sam wynik. W kodzie każda całka to skończona suma po siatce – czyli w praktyce suma Riemanna lub kwadratura, liczona równolegle przez wątki GPU. Teoria Lebesgue’a nie zmienia kernela; gwarantuje, że wielkość, którą przybliżasz, istnieje, i że błąd maleje przy zagęszczaniu siatki.
Na GPU liczysz Riemanna; Lebesgue mówi, czemu to wolno.
Krystalografia#
12. Gęstość elektronowa i czynniki struktury#
W krysztale gęstość elektronowa ρ(r) jest okresowa i należy do L² komórki elementarnej o objętości V. Czynniki struktury F(hkl) to jej współczynniki Fouriera; dyfraktometr mierzy natężenia I ∝ |F|², ale gubi fazy. Synteza Fouriera odtwarza ρ z F, a Parseval wiąże sumę |F|² z całką |ρ|² po komórce.
$$ \rho(\mathbf{r}) = \frac{1}{V}\sum_{hkl} F(hkl)\,e^{-2\pi i(hx+ky+lz)} $$$$ \frac{1}{V}\sum_{hkl}|F(hkl)|^2 = \int_{\text{komórka}} |\rho(\mathbf{r})|^2\,d\mathbf{r} $$Kryształ to funkcja z L²; dyfrakcja mierzy moduły jej współczynników Fouriera.
13. Funkcja Pattersona – autokorelacja gęstości#
Skoro mierzymy tylko |F|², można policzyć syntezę Fouriera z samych natężeń. Wynik to funkcja Pattersona P(u) – autokorelacja ρ, czyli całka (Lebesgue’a) iloczynu ρ(r)·ρ(r + u) po komórce. Jej maksima leżą w wektorach międzyatomowych, nie w pozycjach atomów; to klasyczny punkt startu przy rozwiązywaniu struktur z ciężkimi atomami.
$$ P(\mathbf{u}) = \int_{\text{komórka}} \rho(\mathbf{r})\,\rho(\mathbf{r}+\mathbf{u})\,d\mathbf{r} = \frac{1}{V}\sum_{hkl} |F(hkl)|^2 \cos\big(2\pi\,\mathbf{h}\cdot\mathbf{u}\big) $$Patterson nie pokazuje, gdzie są atomy, tylko jak są od siebie oddalone.
14. Widmo dyfrakcyjne jako miara i rozkład Lebesgue’a#
Natężenie dyfrakcji nie jest zwykłą funkcją: idealny kryształ daje ostre refleksy Bragga, czyli delty Diraca, a takich obiektów nie da się zapisać jako gęstości. Poprawny opis to miara w przestrzeni odwrotnej. Twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie dzieli każdą taką miarę na trzy rozłączne części: punktową (atomy miary – refleksy Bragga), absolutnie ciągłą (ma gęstość – rozpraszanie dyfuzyjne od nieporządku, drgań termicznych) i singularną ciągłą (bez atomów i bez gęstości – egzotyczne struktury aperiodyczne). Kwazikryształy mają widmo czysto punktowe mimo braku okresowości; na tym rozkładzie opiera się matematyczna teoria dyfrakcji (Hof, Baake–Grimm).
$$ \mu = \mu_{\text{pp}} + \mu_{\text{ac}} + \mu_{\text{sc}} $$Dyfrakcja to miara; jej rozkład Lebesgue’a odróżnia porządek od nieporządku.
Tomografia komputerowa#
15. Beer–Lambert i transformata Radona#
Promień rtg przechodzący przez obiekt słabnie zgodnie z prawem Beera–Lamberta. Po zlogarytmowaniu stosunku natężeń dostajemy całkę liniową współczynnika osłabienia μ(x, y) wzdłuż promienia, czyli całkę Lebesgue’a względem jednowymiarowej miary długości na prostej. Zbiór tych całek po wszystkich kątach θ i przesunięciach s to transformata Radona – sinogram.
$$ I = I_0\,\exp\Big(-\int_L \mu\,d\ell\Big) \;\Rightarrow\; p_\theta(s) = -\ln\frac{I}{I_0} = \int_{L(\theta,s)} \mu\,d\ell $$$$ (\mathcal{R}\mu)(\theta,s) = \int_{-\infty}^{\infty} \mu(s\cos\theta - t\sin\theta,\; s\sin\theta + t\cos\theta)\,dt $$Każdy piksel detektora to jedna całka liniowa obiektu.
16. Fubini i „prawie każda prosta”#
Twierdzenie Fubiniego pozwala liczyć całkę po płaszczyźnie jako całkę z całek po prostych równoległych. Daje też coś subtelniejszego: jeśli μ jest całkowalna na płaszczyźnie, to całka wzdłuż prostej istnieje dla prawie każdej prostej danego kierunku, a projekcja p_θ(s) jest całkowalną funkcją s. Na pojedynczych prostych (miary zero w rodzinie prostych) całka może nie istnieć – i nie ma to znaczenia. Dodatkowo całka projekcji po s jest taka sama dla każdego kąta: to całkowita „masa” obiektu.
$$ \iint \mu(x,y)\,dx\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} p_\theta(s)\,ds \quad \text{dla każdego } \theta $$Fubini: sinogram jest dobrze określony dla prawie każdego promienia, a każda projekcja niesie tę samą masę.
17. Fourier slice theorem#
Jednowymiarowa transformata Fouriera projekcji pod kątem θ równa się wycinkowi dwuwymiarowej transformaty Fouriera obiektu wzdłuż prostej przez początek pod tym samym kątem. Zbierając projekcje ze wszystkich kątów, wypełniamy płaszczyznę Fouriera promieniście. Twierdzenie w pełnej ogólności działa w L¹ i L² – tu potrzebny jest Lebesgue.
$$ \mathcal{F}_1\{p_\theta\}(\omega) = \mathcal{F}_2\{\mu\}(\omega\cos\theta,\; \omega\sin\theta) $$Każda projekcja daje jeden promień w przestrzeni Fouriera obiektu.
18. FBP, filtr rampowy i okienkowanie#
Filtered backprojection: każdą projekcję filtrujemy w dziedzinie Fouriera przez |ω|, a potem „rozmazujemy” wstecz po obrazie wzdłuż promieni i sumujemy po kątach. Czynnik |ω| to jakobian przejścia ze współrzędnych biegunowych do kartezjańskich – kompensuje zagęszczenie promieni przy środku z ilustracji 17. Ponieważ |ω| rośnie bez ograniczeń, wzmacnia szum o wysokich częstotliwościach: odwrócenie transformaty Radona to problem źle postawiony. Okno (Shepp–Logan, Hann, Hamming) tłumi wysokie częstotliwości i jest formą regularyzacji.
$$ \mu(x,y) = \int_0^{\pi} \Big(\mathcal{F}_1^{-1}\big\{\,|\omega|\,W(\omega)\,\mathcal{F}_1 p_\theta\big\}\Big)(x\cos\theta + y\sin\theta)\,d\theta $$|ω| przywraca ostrość, okno W(ω) płaci za nią mniejszym szumem.
19. Metody statystyczne: Poisson i ML-EM#
Detektor liczy fotony, a liczby zliczeń mają rozkład Poissona – to miara probabilistyczna z ilustracji 10. Zamiast odwracać transformatę Radona wprost, metody statystyczne szukają obrazu, który najbardziej prawdopodobnie dał zmierzone zliczenia (maksymalna wiarygodność). Algorytm EM (ML-EM, w wersji przyspieszonej OS-EM) robi to iteracyjnie: projekcja w przód, porównanie z pomiarem, wsteczna projekcja ilorazu, mnożnikowa poprawka obrazu. W transmisyjnej CT model jest wykładniczy (Beer–Lambert), więc używa się wariantów tego schematu; najprostszy do pokazania jest klasyczny ML-EM z emisji (PET/SPECT).
$$ x_j^{(k+1)} = \frac{x_j^{(k)}}{\sum_i a_{ij}} \sum_i a_{ij}\,\frac{y_i}{\sum_l a_{il}\,x_l^{(k)}} $$Rekonstrukcja jako najbardziej prawdopodobny obraz – teoria miary w wersji probabilistycznej.
20. Nieciągłości i woksele#
Rzeczywiste obiekty mają ostre krawędzie: granica materiał–powietrze, wtrącenia metalu. Współczynnik μ jest wtedy nieciągły, ale nadal należy do L¹ i L², więc cała teoria z ilustracji 15–18 działa bez zmian. W kodzie obiekt to siatka wokseli, czyli funkcja schodkowa – każdy woksel to stała wartość na małym sześcianie. Funkcje schodkowe są gęste w L²: dowolny obiekt można nimi przybliżyć z dowolną dokładnością w normie L², choć nie punktowo przy krawędziach.
$$ \mu_N = \sum_{j} \bar{\mu}_j\,\mathbb{1}_{V_j}, \qquad \|\mu - \mu_N\|_2 \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 $$Siatka wokseli to funkcja schodkowa – zbiega w L², nawet gdy obiekt ma skoki.
Mapa pojęć#
21. Mapa pojęć – plansza zbiorcza#
Jedna plansza pokazująca, jak wszystkie 20 pojęć się łączą: od definicji całki, przez narzędzia teorii miary, do zastosowań w krystalografii i CT. Ma służyć jako spis treści serii i ściągawka.
Teoria miary to rama; Riemann na GPU to narzędzie; krystalografia i CT stoją na obu.